平面図形:4.円(円と直線)

円と直線

平面図形:4.円(円と直線)

前回、円ってどんな図形か?を学びました。

今回は円の性質を使ってできること、また円の接点、接線について学びましょう。

円と直線

円と直線の関係を見ていきましょう。

円と直線

直線CDは円の中心を通って、かつ以下の3つの線と直角に交わっています。
直線l は円と2点を共有しています。
直線m は円と1点を共有しています。
直線n は円と点を共有していません。

上の図でわかること1(円と直線、線分)

図形の問題は「図をみてどれだけの事がわかるか?」が勝負です。

円について

円の半径はrですね。
ということは、直径は2rです。まぁこれは書いていることだからだいたいわかるかな。

直線cd

この直線は中心点を通っていますね。だから、線分CDの長さは直径ですから2rです。

直線l.m,nの3つの線

これは直線CDと垂直に交わっています。
だから、この3つの線は「平行です。」

上の図でわかる円と直線、交点で作られる三角形について

円と直線と三角形

三角形OAB

OA=OB=r(半径)ですね。ってことは三角形OABは
2辺の長さが等しい三角形・・・二等辺三角形!

三角形OHAと三角形OHB

点Hは線分ABの中点です。でもなんで中点なんでしょうね?
二等辺三角形OABについて「頂角∠AOBの二等線は、底辺を垂直に二等分する」っていう性質があったのを覚えているかな?

逆に言うと「二等辺三角形の頂点を通り底辺に直行する直線が底辺と交わる点は、底辺を2等分する。」ってことですね。

ほぼ国語の問題です!

ということは2つのことがわかります。

  1. ∠AOHと∠BOHは等しい
  2. 線分AHと線分BHは等しい

つぎに既にわかっているけど、結構気づかないこととして、

  1. 三角形OHAと三角形OHBの辺OHは共通で長さが等しい
  2. 辺OAと辺OBは円の半径だから長さはr。(二等辺三角形のところでも書きましたね。)

ってことは2つの三角形は、それぞれの辺の長さが等しいから「合同」ですね。

また、2つの辺(OAとOB、OHは同一)とその間の角(∠AOHと∠BOH)が等しいっていうことからも合同が証明されます。

三角形AOCと三角形BOC

さて、上で証明したのを活用すると、∠AOH=∠AOCと∠BOH∠BOCかつ、OCは同一かつOC=r(OCは円の半径!)だから2つの三角形は二等辺三角形でこれまた「合同」ですね。

だから線分AC=線分BC(ともに合同な二等辺三角形の底辺だから)となりますね。

あら不思議。

接線について

直線mは円と1点のみ共有している直線です。そしてその点は円周上の点cです。

このような直線を「接線」といい、またその共有点を「接点」といいます。

ここで重要なこととして、

接線は、その接線の接点を通る半径と直行する」んです。

円と直線の2つの交点がだんだん狭くなっていくイメージですね。

図だとこんな感じ

円と接線、接点

 

わかりましたか?

 

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