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201704田島中学校数学

2017年対馬中学校2年生 数学

伊東市立対馬中学校の2017年4月実施数学試験の解答と解説です。

http://ito-katekyo.net/wp-content/uploads/2017/04/201704_g2_test.pdf

図形の移動

平面図形:5.図形の移動

まずは基本から。

図形の大きさ、形を変えずに、図形の位置だけを変えることを「図形の移動」といいます。

さて、でも図形の移動を知ることでどんなことがわかるんでしょうか?

本日の基本図形

図形の移動

正六角形ABCDEFがあります。

正六角形は分割する△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA、に6分割されて、それぞれ正三角形です。

上の各正三角形は、△OABと△OBCを見てみると、それぞれ①、②、③と④、⑤、⑥の三角形に分割されます。それらはすべて二等辺三角形で、その二等辺三角形の底辺の長さは正六角形の1辺の長さと等しい。また頂角は120°である。

また①’、①”はそれぞれ①を平行移動させたもので、②〜⑥に関しても同様です。

って感じかな。他にもいろいろ見えてきますね。
(自分で見つけてみましょう!)

平行移動

さて、まずは平行移動について説明しましょう。

△OAB、△DOC、△EFOは平行移動

平行移動

各三角形△OAB、△DOC、△EFOの頂点に注目してみると、すべての頂点が点線分だけ移動しています。各点線は平行です。

ということは、各図形がそれぞれ平行移動しているということです。

ポイント:図形の各点がそれぞれ同じ方向に同じ距離だけ移動している時「平行移動」です。

ということは、三角形①、①’、①”についても

平行移動

そう、平行移動が成立するんですね。

上の図形では①、①’、①”の3つ、②、②’、②”・・・⑥、⑥’、⑥”の3つはそれぞれ平行移動なので、

回転移動

つぎに回転移動です。

回転移動

三角形③、①’、②”を見てみると、点Oを中心とした回転移動であることがわかります。B→F→D、B’→F’→D’ってことです。それぞれが120°で回転しています。

ポイント:図形の各点が、ある一点を中心に同じ角度だけ回転した移動を「回転移動」といいます。

回転移動の中でも特に回転角が180°の回転移動を「点対称移動」といいます。

点対称移動

点対称移動

 

対称移動

最後に対象移動です。

対称移動

△OBCと△OFEは直線ADを折り目として移動する移動です。

ポイント:一つの直線を折り目として折り返す移動を「対象移動」といいます。

最後に

さて、ここまで学んだことで、ひとつ面白い(かどうかはわかりませんが。)ことがわかります。

三角形①が一つあれば正六角形がかけるんですね。
(三角形①は底辺が六角形の1辺と同じ長さで、頂角が120°の二等辺三角形!)

例として対象移動だけで正六角形を書いてみます。

回転移動で書く方法も考えてみてくださいね!

それではまた〜!

円と直線

平面図形:4.円(円と直線)

前回、円ってどんな図形か?を学びました。

今回は円の性質を使ってできること、また円の接点、接線について学びましょう。

円と直線

円と直線の関係を見ていきましょう。

円と直線

直線CDは円の中心を通って、かつ以下の3つの線と直角に交わっています。
直線l は円と2点を共有しています。
直線m は円と1点を共有しています。
直線n は円と点を共有していません。

上の図でわかること1(円と直線、線分)

図形の問題は「図をみてどれだけの事がわかるか?」が勝負です。

円について

円の半径はrですね。
ということは、直径は2rです。まぁこれは書いていることだからだいたいわかるかな。

直線cd

この直線は中心点を通っていますね。だから、線分CDの長さは直径ですから2rです。

直線l.m,nの3つの線

これは直線CDと垂直に交わっています。
だから、この3つの線は「平行です。」

上の図でわかる円と直線、交点で作られる三角形について

円と直線と三角形

三角形OAB

OA=OB=r(半径)ですね。ってことは三角形OABは
2辺の長さが等しい三角形・・・二等辺三角形!

三角形OHAと三角形OHB

点Hは線分ABの中点です。でもなんで中点なんでしょうね?
二等辺三角形OABについて「頂角∠AOBの二等線は、底辺を垂直に二等分する」っていう性質があったのを覚えているかな?

逆に言うと「二等辺三角形の頂点を通り底辺に直行する直線が底辺と交わる点は、底辺を2等分する。」ってことですね。

ほぼ国語の問題です!

ということは2つのことがわかります。

  1. ∠AOHと∠BOHは等しい
  2. 線分AHと線分BHは等しい

つぎに既にわかっているけど、結構気づかないこととして、

  1. 三角形OHAと三角形OHBの辺OHは共通で長さが等しい
  2. 辺OAと辺OBは円の半径だから長さはr。(二等辺三角形のところでも書きましたね。)

ってことは2つの三角形は、それぞれの辺の長さが等しいから「合同」ですね。

また、2つの辺(OAとOB、OHは同一)とその間の角(∠AOHと∠BOH)が等しいっていうことからも合同が証明されます。

三角形AOCと三角形BOC

さて、上で証明したのを活用すると、∠AOH=∠AOCと∠BOH∠BOCかつ、OCは同一かつOC=r(OCは円の半径!)だから2つの三角形は二等辺三角形でこれまた「合同」ですね。

だから線分AC=線分BC(ともに合同な二等辺三角形の底辺だから)となりますね。

あら不思議。

接線について

直線mは円と1点のみ共有している直線です。そしてその点は円周上の点cです。

このような直線を「接線」といい、またその共有点を「接点」といいます。

ここで重要なこととして、

接線は、その接線の接点を通る半径と直行する」んです。

円と直線の2つの交点がだんだん狭くなっていくイメージですね。

図だとこんな感じ

円と接線、接点

 

わかりましたか?

 

円

平面図形:3.円いろいろ1

円について学びます。

さて、まずはじめに円ってなんでしょうか?

円ってなんだろう?

円ってなんだ?

円ってなんだ?

 

円とは「ある点から等しい距離にある点を集めた図形」のことです。この性質を使うことでいろんな図形を描くことができます。とても重要です!

弧、弦、おうぎ形、中心角

弧、弦、おうぎ形、中心角

円周の一部、円の一部にはそれぞれ名前があります。

円周の一部を「弧」といいます

点A,Bを端点とする弧において、線分ABを「弦」といいます。
弓の弦を思い出したらわかりやすいですね。

おうぎ形は、まさに扇の形をしています。2つの半径と弧で囲まれた図形のことです。

中心角は、おうぎ形の2つの半径がなす角です。

 

しっかり覚えましょう。

角、垂線、距離

平面図形:2.角、垂線、距離

直線、半直線、線分を使って、2直線の関係や、距離を考えてみましょう。

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直線 半直線 線分

平面図形:1.直線と線分、半直線

平面図を学びます。

とその前に。とても重要なことがあるよ。

それは「点」「直線」「半直線」「線分」

ではいってみよう!

直線ってなんだ?

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比例と反比例の活用

比例と反比例:7.比例と反比例の活用

生活のなかでどのような形で比例と反比例が使われているか?

まずはちょっと考え方から。

1個あたりの数が決まっている時は比例、全部の数が決まっている時は反比例

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反比例のグラフ

比例と反比例:6.反比例のグラフ

比例のグラフで学んだように、関数のグラフは「点の集まり」です。

反比例のグラフも式に任意の値を入れてみて、座標をプロットしてみると線形が見えてきます。

そのためには、まずは「どんな値の集まり」なのかを表にしてみましょう!

反比例の座標の集まりを表にしてみる。

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反比例

比例と反比例:5.反比例

比例の反対が反比例??

反対が何を意味するのかわかりませんが。反比例も実生活の中でよく出てきます。

さて、事例をもとに反比例を考えていきましょう。

ケーキを沢山食べたい!

ケーキを分ける

さて。ケーキ好きな人は多いでしょうね。嫌いな人もいますけどね。

さて、この誕生会に参加した人がおじいちゃんと死んだおばあちゃん含め15人いたとしましょう。でもケーキを食べたくない人が3人いました。おばあちゃんもケーキが大好きでお供えしたいと思います。

ということはケーキを12人分で分ければ良いわけですね!

だから3ホールを12人で割ると1人、1/4ホール食べられるってことになります。

人数が変化したらどうなるか?

3人で分けたときと12人で分けたときと24人で分けたとき、それぞれ1人当たりのケーキの大きさは下のようになります。

ケーキを分ける

ケーキを分ける人数をx、一人当たりのケーキの大きさをyとおくと以下の式が成り立ちます。

y=3/x

分ける人数が増えると、一人当たりのケーキの大きさが小さくなりますね?

これが反比例です。

反比例とは

yがxの関数であり、変数x,yの間に、

y=a/x

の関係が成り立つ時、yはxに反比例するという。

ただし、a≠0であり、このaを「比例定数」という。

わかりましたか?

 

座標とグラフ

比例と反比例:4.座標と比例のグラフ

比例で重要な「座標」と「比例のグラフ」について学びましょう。

座標ってなんだ?

座標とグラフ

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